Gömböc

¿Alguien se ha preguntado alguna vez qué le pasará a una tortuga que por alguna razón queda panza arriba? ¿Simplemente se muere o consigue volver a su posición normal? Y en caso de que lo consiga ¿cómo lo hace?

Son preguntas aparentemente simples, casi desdeñables. Y sin embargo, como tantas preguntas que parecen desdeñables, en realidad encierran respuestas de lo más interesantes. Y no sólo por la respuesta en si, sino también por cómo se llegó a ella.

Por ejemplo, la tortuga podría tener extremidades muy largas, que le permitan fácilmente impulsarse a su posición inicial, como esta de aquí:

Tortuga de cuello de serpiente Argentina. Créditos: Wikipedia

Obviamente, tener un caparazón es una magnífica protección contra depredadores, pero cuanto más largas sean tus extremidades, más difícil tendrás esconderlas y más vulnerable serás. Por tanto, hay muchas tortugas con extremidades cortas:

Tortuga Estrella India. Créditos: Wikipedia

¿Qué hará esta tortuga en caso de quedar boca abajo? Pues volver a su sitio gracias a la forma geométrica de su caparazón. Que de hecho, es un “gömböc”.

En este punto, querría mostraros este curioso vídeo:

El cuerpo que se ve en él es un gömboc y posee unas propiedades muy interesantes: siendo un cuerpo homogéneo y convexo sólo posee un punto de equilibrio estable y otro inestable.

Es decir, que no importa cómo lo dejemos, siempre volverá a la misma posición: su punto de equilibrio estable. Y esto lo hace sólo por su diseño geométrico, ya que no depende de que en su interior haya un “peso”, como cuando se truca un dado.

He de señalar que el gömböc no es una forma única, si no una variedad. Por tanto podemos encontrar diferentes cuerpos que sean considerados como gömböc, pues compartirán sus propiedades aunque no su forma.

Los gömböc, o más precisamente la categoría matemática de estos cuerpos, llamados cuerpos mono-monoestáticos, fue conjeturada en 1995 por el matemático ruso Vladimir Arnold, pero se hubo de esperar al año 2006 para que se confirmara su existencia. En ese año los científicos húngaros Gábor Domokos y Péter Várkonyi, estudiante de Gábor, resolvieron el problema matemático y trabajaron en el diseño de un cuerpo de estas características, pero en sus primeros diseños se encontraron con el problema de que las formas eran muy similares a una esfera, con desviaciones de tan sólo 1/10000. Por tanto crear un diseño experimental con estas características, resultaba extremadamente complejo.

De paso Gábor y  su mujer desarrollaron un método de clasificación de formas geométricas tridimensionales basándose en sus puntos de equilibrio, y para ponerlo a prueba básicamente tomaron cantos rodados y analizaron cuales eran sus puntos de equilibrio estable. Y por muchas que analizaron, no consiguieron encontrar ni uno que tuviera las propiedades de “mono-monoestático”. Y con muchas quiero decir que de una playa llegaron a analizar más de 2000. Así pues, en este punto parece que sencillamente tenían una “curiosidad matemática” imposible de encontrar en la naturaleza…

Pero Gábor y Péter no se dieron por vencidos en su búsqueda de dicho cuerpo en la naturaleza. ¿Pudiera ser que lo que la naturaleza inanimada no les proveía pudieran encontrarlo como consecuencia de la evolución biológica? Así que ambos se dedicaron a medir tortugas en el Zoo de Budapest, en el Museo Húngaro de Ciencias Naturales y múltiples tiendas de mascotas de Budapest, analizando y digitalizando las formas de sus caparazones.

Y sí, encontraron que algunos de los caparazones se ajustaban a su gömböc, por lo que escribieron un artículo para informar a la comunidad científica su descubrimiento… Pero lo que tiene de pasarse de una rama a otra, es que no es fácil que te hagan caso en la nueva rama, o eso me parece a sí, pues les rechazaron el artículo nada menos que 5 veces.

Yo, la verdad, me hubiera rendido antes. Pero ellos persistieron y finalmente vieron su trabajo publicado. Y con el tiempo los biólogos han empezado a aceptar su explicación matemática para la forma de los caparazones de algunas tortugas, aunque su propuesta se había popularizado en los medios científicos a partir de la publicación.

Y tanto es así, que en la Expo de Shangai de 2010, en el pabellón de Hungría se expuso un gömbök de 3 metros.

¿Quién iba a pensar que la respuesta a cómo se dan la vuelta las tortugas, tendría tantas vueltas y revueltas?

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Breve Curiosidad #25: Números imaginarios

Tenía que compartirlo xDD me ha encantado:

Otra genialidad de Montt

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¿Regreso?

Muchas circunstancias me han mantenido alejado del blog estos meses, una detrás de otra. Pero ahora estoy replanteándome volver a retomarlo, en cuanto acaben los exámenes parciales de esta semana.

Entre tanto…

… Tomémoslo con humor.

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Breve Curiosidad #22:El fin del Mundo… y Paul Erdös

El otro día no pude evitar reirme bien a gusto con esta tira de XKCD (La tarducción está más abajo):

apocalypse

Viñeta 2: ¡El apocalipsis! ¡Los cielos arderán, los mares se convertirán en sangre y los muertos caminarán sobre la Tierra!

Viñeta 3:

– Los muertos ¿qué?

– Caminarán sobre la Tierra

Viñeta 4:  Tengo que irme.

Viñeta 7: “Departamento de matemáticas”

– ¡Los muertos regresan! Todo el mundo, rápido ¡firmad esto!

Viñeta 8:

– ¡Al fin!

– ¡Espero que sea el momento!

Viñeta final:

– ¿Paul Erdös?

– ¿Sí?

– Necesitamos que firmes esto

Lo ciertoe s que el chsiet sólo tiene algo de gracia si sabes quién es Paul Erdös. Os dejo este párrafo como muestra:

“Escribió con otros 485 autores, por lo que se puede decir que colaboró con más gente que cualquier otro matemático en la historia. A esos 485 se dice que tienen número de Erdös 1. Si alguien ha trabajado con uno de esos 485 se dice que tiene el número de Erdös 2. Si alguien con alguno de estos últimos tendrá el número de Erdös 3 y así sucesivamente. Einstein tenía número de Erdös 2. Aun cuando estuvo bien entrado en los 70, hubo algunos años en los que publicó 50 artículos. Los buenos matemáticos escriben ese orden de publicaciones … en toda su vida.”

Sin duda, el matemático más prolífico de la historia. A raiz de ello, se puso su nombre a cierto proyecto de la Oakland University: The Erdös Number Project . Este proyecto quiere estudiar el fenómeno de la colaboración entre matemáticos en investigaciones matemáticas (dentro del estudio de las redes sociales). Así, alguien que firmó un artículo junto con Erdös tiene un número de Erdös 1, quienes colaboraron con alguien que colaboró con Erdös tienen un 2, etc. Y dentro de esta mecánica, se peude concoer la “distancia” en personas que separa a un científico o matemático de otros. Dentro del mundillo, es una specie de “honor” tener un número de Erdös cuanto más bajo mejor…

Por cierto el extracto sobre Erdös que os he peusto arriba es de Historias de la Ciencia, del artículo: “El beísbol y los números primos” . Este artículo habla mayormente sobre Erdös, un personaje realmente sobresaliente, y no puedo dejar de recomendároslo encarecidamente: es realmente bueno)

Creo que a quienes no os haya hecho gracia desde el principio, no os lo va a hacer ahora después de la explicación (es lo que tiene “explicar” un chiste). Pero al menos, espero que algo curioso hayáis aprendido y al menos ahora os suene este irrepetible matemático.

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Sobre la probabilidad y la intuición

La semana pasada expliqué una aparente paradoja probabilistica y de paso hice una pregunta sobre ella, mediante una encuesta, para saber cuanta gente percibía la paradoja. A continuación explico los resultados, pero si no has leido el post al que me refiero y querrías participar en la pregunta que hago, leeloy vota ala respuesta que tu creas acertada antes de leer éste.

La cuestión era la siguiente: Si una pareja tiene 4 hij@s y consideramos equiprobable el que sena niño o niña, cual de las siguientes posibilidades es más probable:

  1. Que todos sean del mismo sexo.
  2. Que tres sean de un sexo y uno del otro.
  3. Que dos sean de cada sexo.

En la encuesta obtuve los siguientes resultados:

  1. Que todos sean del mismo sexo: 2 votos
  2. Que tres sean de un sexo y uno del otro: 6 votos
  3. Que dos sean de cada sexo: 6 votos

La respuesta correcta, como expliqué, es tres de un sexo y uno del otro. Pero aparentemente uno esperaría que fueran dos de uno y dos del otro, debido a que las probabilidades de tener un niño o una niña son 50% cada una.

Como veis, ha habido tanta gente que ha “picado” en la paradoja como gente que ha respondido correctamente. Pero los que respondieron bien imagino que lo hicieron por dos razones. Primera, que ya conocieran el problema:

S.:

Mientras leia tu interesante articulo y respodía bien a tu encuesta (porque ya habia hecho el ejercicio de probabilidad cuando estaba en informatica :P)

Segunda, que se olieran que había gato encerrado y en consecuencia descartaron la opción más evidente y de las dos restantes optaron por la que els pareció más probable:

Wirwin:

Excelente, fijate que yo lo hise por intuición y respondi correctamente, pero creeme que con este jueguito he aprendido mucho acerca de las probabilidades

En el caso de los dos votos para la opción 1, pienso que fue gente que en vez de descartar la opción más evidente y entre las restantes elegir la más probable, decidieron arriesgarse a elegir la menos evidente de todas. O eso pienso yo.

Estaría encantado de que cualquiera que leyera el post y votara en la pregunta, me explicara que le empujó a elegir su opción.

En cualquier caso, para aquellos que no analizaron el problema matemáticamente o que ya lo conocían, seguramente respondieron como wirwind, por intuición. Y sobre el tema de la intuición S. dejó un vídeo muy interesante que quería compartir con todos vosotros.

¡Gracias a los que votásteis!

http://www.smartplanet.es/redesblog/?p=62

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El espejismo de la probabilidad.

Hoy estaba dando clase a un alumno sobre probabilidad y he recordado una curiosidad que leí hace tiempo en Paradojas ¡Ajá! de Martin Gardner.

No hace falta tener mucho conocimiento matemático para entender el post, pero me gusta llegar a todos los público, así que en primer lugar haré una brevísima exposición sobre la probabilidad laplaciana. Omítase por completo el siguiente recuadro si se tienen conocimientos básicos de probabilidad, porque no hace falta más.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta definición es válida sólo para una situación cuyos resultados sean discretos y finitos. Explicado de forma breve y coloquial, es decir de tal manera que a un matemático le den ganas de asesinarme, yo diría:

  • Discreto significa que los resultados son unos valores perfectamente separados. Ejemplo: un dado: sólo podemos sacar 1, 2 3, 4, 5 o 6. O en una moneda: cara o cruz.
  • Finito: Significa que no es infinito. Vamos, que tenemos un número de posibilidades que podemos “contar”.

Entonces, la probabilidad de que ocurra algo se define como:

el número de casos positivos dividido por el número de casos totales.

Por ejemplo, probabilidad de sacar tres en un dado es: 1/6 (ya que el tres aparece en una única cara del dado, de un total de 6 caras)

Bueno, la cuestión principal es la siguiente paradoja: Una pareja tiene 4 hij@s y consideramos que tener un niño o una niña es equiprobable.

Ahora pregunto a todos los lectores, qué creéis que es más probable de las siguientes posibilidades:

(Venga no me seáis tranposillos y responded sin mirar la solución. Sólo deseo saber cuál es la percepción “a priori” de la mayoría de la gente sobre esta situación.)

Bueno la respuesta es… No, no voy a decirlo todavía, quiero haceros sufrir un poco con la duda (¡dudar es bueno y esta infravalorado!). Así que primero la explicación y luego la respuesta.

Vamos a plantear diferentes posibilidades a la hora de tener los 4 hijos. Las H son de hombre y las M de mujeres. El orden de izquierda a derecha indica el orden de nacimiento:

  1. H H H H
  2. M M M M
  3. H M M M
  4. M H M M
  5. M M H M
  6. M M M H
  7. H H M M
  8. H M H M
  9. H M M H
  10. M H H M
  11. M M H H
  12. M H M H
  13. M H H H
  14. H M H H
  15. H H M H
  16. H H H M

Bueno, como veis hay 16 posibilidades diferentes. Como hemos propuesto que la probabilidad de que sea niño es  igual a la de que sea niña (50% cada uno), todas las posibilidades son igualmente probables.

Ahora vamos a contar casos:

  • Mismo sexo: Casos 1 y 2. Es decir 2 casos de un total de 16 posibles: probabilidad=2/16
  • Dos de cada sexo: Casos 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Es decir, 6 casos de un total de 16 posibles: probabilidad=6/16
  • Tres de un sexo y uno del otro: Casos 3, 4, 5, 6, 13, 14, 15 y 16. es decir, 8 casos de un total de 16: probabilidad=8/16

En porcentaje: Mismo sexo (12,5%), dos de cada sexo (37,5%) y por último, tres de un sexo y uno del otro (50%).

¡Es mucho más probable tener 3 hijos de un sexo y uno del otro que cualquiera de las otras posibilidades por separado!

Es un resultado que choca contra la lógica, porque algo en nuestra mente nos empuja a pensar que si la probabilidad de tener hijo o hija es del 50%, lo más lógico es que sea más probable tener el mismo número de chicos que de chicas. Pero ¡ay! eso es un espejismo y aquí acabáis de obtener el cálculo.

Moraleja: nuestra intuición del mundo es muy limitada. Así, cuando la ciencia o las matemáticas encuentran resultados que van contra el sentido común y contra lo que consideramos lógico. Pero ahí están y eso debe hacernos darnos cuenta de que:

1º no podemos fiarnos de nuestro sentido común, ni nuestra percepción, ni nuestro instinto al 100%

y 2º Que estas cosas son las que hacen el mundo un lugar tan interesante.

Breve Curiosidad #7: Un teorema es algo muy fuerte.

Ayer hablaba con unos amigos que están en el primer curso de la carrera, sobre cierto profesor, al que casi todos los alumnos que han cursado con él le tienen autentica veneración, pero que por las altas esferas no cae demasiado bien.

La cuestión es que durante la clase, comentó algo así:

Ahora con Bolonia nos han dicho que la palabra Teorema es demasiado fuerte para vosotros, así que de ahora en adelante no voy a decir teorema.

Ahora sigamos con la clase. Veamos el Cofcrfcof de Pitágoras…

Y al parecer se pasó toda la clase así, disimulando con toses cada vez que le tocaba decir Teorema. Es un bromista y le gusta retorcer lo que le dicen.

Supongo que algo se habrá dicho sobre “lo dura” que es la notación matemática en el primer curso, por aquello de que llegamos con un nivel de mierda. Supongo que la solución a la boloñesa es bajarnos el nivel de primero al nivel de bachillerato, lo que seguramente permita evitar muchos traumas de los alumnos que siendo buenos estudiantes en bachillerato se estrellan en primero de carrera. Lo digo por experiencia propia.

Pero no creo que la solución deba ser rebajar el nivel. Basta con buenos profesores y exámenes aceptables (lo que en muchos casos es mucho pedir). Si las asignaturas son duras es porque debemos tener una buena base. Si bajamos el nivel de primero, en segundo tendremos el escalón. ¿Bajamos también el escalón de segundo? No nos lo pueden dar todo ya masticado. Bastaría con que nos explicaran bien como masticar.

El caso es que todo esto, me recordó cierta curiosidad que tenía por ahí guardada. Esta entrada está dedicada, claro, a toda la gente que esté haciendo un primer curso lleno de matemáticas horribles, de la carrera que sea.

Al final, descubres que esas matemáticas son tus amigas…

DESCRIPCIÓN NO-MATEMÁTICA DE ALGUNOS TÉRMINOS UTILIZADOS EN MATEMÁTICAS (o lo que dicen los profesores, y lo que REALMENTE quieren decir)
Claramente: No quiero pasar por todos los pasos intermedios.

Trivialmente: Si tengo que mostrarte porque, te equivocaste de clase.

Obviamente: Si estabas dormido cuando lo explique, la cagaste, porque me niego a repetir la explicación.

Les doy una Pista: La forma mas difícil de hacerlo.

Podemos asumir que: Hay muchos casos, pero sé como hacer este.

Usando el teorema “___”: no sé QUÉ es lo que dice, pero SÉ que se resuelve por ahí.

El resto es álgebra: Esta es la parte aburrida; si no me creen, ¡háganlo!

Demostración hablada: Si la escribo, pueden encontrar los errores.

Brevemente: La clase ya se está acabando, así que escribiré y hablare rápido (no breve).

La dejo como ejercicio: Estoy cansado.

Demostración breve: Ocupa la mitad de la hoja y CUATRO veces el tiempo de escribirla en entenderla.

Demostración formal: Yo tampoco la entiendo.

Fácilmente Demostrable: Hasta ustedes, con sus conocimientos infinitesimales, pueden demostrarlo sin mi ayuda.